(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(nats) → mark(cons(0, incr(nats)))
active(pairs) → mark(cons(0, incr(odds)))
active(odds) → mark(incr(pairs))
active(incr(cons(X, XS))) → mark(cons(s(X), incr(XS)))
active(head(cons(X, XS))) → mark(X)
active(tail(cons(X, XS))) → mark(XS)
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(incr(X)) → incr(active(X))
active(s(X)) → s(active(X))
active(head(X)) → head(active(X))
active(tail(X)) → tail(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
incr(mark(X)) → mark(incr(X))
s(mark(X)) → mark(s(X))
head(mark(X)) → mark(head(X))
tail(mark(X)) → mark(tail(X))
proper(nats) → ok(nats)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0) → ok(0)
proper(incr(X)) → incr(proper(X))
proper(pairs) → ok(pairs)
proper(odds) → ok(odds)
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(head(X)) → head(proper(X))
proper(tail(X)) → tail(proper(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
incr(ok(X)) → ok(incr(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
head(ok(X)) → ok(head(X))
tail(ok(X)) → ok(tail(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Rewrite Strategy: FULL
(1) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(2) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(nats) → mark(cons(0', incr(nats)))
active(pairs) → mark(cons(0', incr(odds)))
active(odds) → mark(incr(pairs))
active(incr(cons(X, XS))) → mark(cons(s(X), incr(XS)))
active(head(cons(X, XS))) → mark(X)
active(tail(cons(X, XS))) → mark(XS)
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(incr(X)) → incr(active(X))
active(s(X)) → s(active(X))
active(head(X)) → head(active(X))
active(tail(X)) → tail(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
incr(mark(X)) → mark(incr(X))
s(mark(X)) → mark(s(X))
head(mark(X)) → mark(head(X))
tail(mark(X)) → mark(tail(X))
proper(nats) → ok(nats)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(incr(X)) → incr(proper(X))
proper(pairs) → ok(pairs)
proper(odds) → ok(odds)
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(head(X)) → head(proper(X))
proper(tail(X)) → tail(proper(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
incr(ok(X)) → ok(incr(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
head(ok(X)) → ok(head(X))
tail(ok(X)) → ok(tail(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
(3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(4) Obligation:
TRS:
Rules:
active(nats) → mark(cons(0', incr(nats)))
active(pairs) → mark(cons(0', incr(odds)))
active(odds) → mark(incr(pairs))
active(incr(cons(X, XS))) → mark(cons(s(X), incr(XS)))
active(head(cons(X, XS))) → mark(X)
active(tail(cons(X, XS))) → mark(XS)
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(incr(X)) → incr(active(X))
active(s(X)) → s(active(X))
active(head(X)) → head(active(X))
active(tail(X)) → tail(active(X))
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
incr(mark(X)) → mark(incr(X))
s(mark(X)) → mark(s(X))
head(mark(X)) → mark(head(X))
tail(mark(X)) → mark(tail(X))
proper(nats) → ok(nats)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(incr(X)) → incr(proper(X))
proper(pairs) → ok(pairs)
proper(odds) → ok(odds)
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(head(X)) → head(proper(X))
proper(tail(X)) → tail(proper(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
incr(ok(X)) → ok(incr(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
head(ok(X)) → ok(head(X))
tail(ok(X)) → ok(tail(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
nats :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
mark :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
cons :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
0' :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
incr :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
pairs :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
odds :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
s :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
head :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
tail :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
proper :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
ok :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
top :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → top
hole_nats:0':mark:pairs:odds:ok1_0 :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
hole_top2_0 :: top
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0 :: Nat → nats:0':mark:pairs:odds:ok
(5) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
active,
cons,
incr,
s,
head,
tail,
proper,
topThey will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
incr < active
s < active
head < active
tail < active
active < top
cons < proper
incr < proper
s < proper
head < proper
tail < proper
proper < top
(6) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
nats) →
mark(
cons(
0',
incr(
nats)))
active(
pairs) →
mark(
cons(
0',
incr(
odds)))
active(
odds) →
mark(
incr(
pairs))
active(
incr(
cons(
X,
XS))) →
mark(
cons(
s(
X),
incr(
XS)))
active(
head(
cons(
X,
XS))) →
mark(
X)
active(
tail(
cons(
X,
XS))) →
mark(
XS)
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
incr(
X)) →
incr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
head(
X)) →
head(
active(
X))
active(
tail(
X)) →
tail(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
incr(
mark(
X)) →
mark(
incr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
head(
mark(
X)) →
mark(
head(
X))
tail(
mark(
X)) →
mark(
tail(
X))
proper(
nats) →
ok(
nats)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
incr(
X)) →
incr(
proper(
X))
proper(
pairs) →
ok(
pairs)
proper(
odds) →
ok(
odds)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
head(
X)) →
head(
proper(
X))
proper(
tail(
X)) →
tail(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
incr(
ok(
X)) →
ok(
incr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
head(
ok(
X)) →
ok(
head(
X))
tail(
ok(
X)) →
ok(
tail(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
nats :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
mark :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
cons :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
0' :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
incr :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
pairs :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
odds :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
s :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
head :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
tail :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
proper :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
ok :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
top :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → top
hole_nats:0':mark:pairs:odds:ok1_0 :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
hole_top2_0 :: top
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0 :: Nat → nats:0':mark:pairs:odds:ok
Generator Equations:
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(0) ⇔ nats
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
cons, active, incr, s, head, tail, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
incr < active
s < active
head < active
tail < active
active < top
cons < proper
incr < proper
s < proper
head < proper
tail < proper
proper < top
(7) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
cons(
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(
+(
1,
n5_0)),
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(
b)) →
*4_0, rt ∈ Ω(n5
0)
Induction Base:
cons(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, 0)), gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(b))
Induction Step:
cons(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, +(n5_0, 1))), gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(cons(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(8) Complex Obligation (BEST)
(9) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
nats) →
mark(
cons(
0',
incr(
nats)))
active(
pairs) →
mark(
cons(
0',
incr(
odds)))
active(
odds) →
mark(
incr(
pairs))
active(
incr(
cons(
X,
XS))) →
mark(
cons(
s(
X),
incr(
XS)))
active(
head(
cons(
X,
XS))) →
mark(
X)
active(
tail(
cons(
X,
XS))) →
mark(
XS)
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
incr(
X)) →
incr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
head(
X)) →
head(
active(
X))
active(
tail(
X)) →
tail(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
incr(
mark(
X)) →
mark(
incr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
head(
mark(
X)) →
mark(
head(
X))
tail(
mark(
X)) →
mark(
tail(
X))
proper(
nats) →
ok(
nats)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
incr(
X)) →
incr(
proper(
X))
proper(
pairs) →
ok(
pairs)
proper(
odds) →
ok(
odds)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
head(
X)) →
head(
proper(
X))
proper(
tail(
X)) →
tail(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
incr(
ok(
X)) →
ok(
incr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
head(
ok(
X)) →
ok(
head(
X))
tail(
ok(
X)) →
ok(
tail(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
nats :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
mark :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
cons :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
0' :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
incr :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
pairs :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
odds :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
s :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
head :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
tail :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
proper :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
ok :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
top :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → top
hole_nats:0':mark:pairs:odds:ok1_0 :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
hole_top2_0 :: top
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0 :: Nat → nats:0':mark:pairs:odds:ok
Lemmas:
cons(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
Generator Equations:
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(0) ⇔ nats
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
incr, active, s, head, tail, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
incr < active
s < active
head < active
tail < active
active < top
incr < proper
s < proper
head < proper
tail < proper
proper < top
(10) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
incr(
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(
+(
1,
n926_0))) →
*4_0, rt ∈ Ω(n926
0)
Induction Base:
incr(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, 0)))
Induction Step:
incr(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, +(n926_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(incr(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n926_0)))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(11) Complex Obligation (BEST)
(12) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
nats) →
mark(
cons(
0',
incr(
nats)))
active(
pairs) →
mark(
cons(
0',
incr(
odds)))
active(
odds) →
mark(
incr(
pairs))
active(
incr(
cons(
X,
XS))) →
mark(
cons(
s(
X),
incr(
XS)))
active(
head(
cons(
X,
XS))) →
mark(
X)
active(
tail(
cons(
X,
XS))) →
mark(
XS)
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
incr(
X)) →
incr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
head(
X)) →
head(
active(
X))
active(
tail(
X)) →
tail(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
incr(
mark(
X)) →
mark(
incr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
head(
mark(
X)) →
mark(
head(
X))
tail(
mark(
X)) →
mark(
tail(
X))
proper(
nats) →
ok(
nats)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
incr(
X)) →
incr(
proper(
X))
proper(
pairs) →
ok(
pairs)
proper(
odds) →
ok(
odds)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
head(
X)) →
head(
proper(
X))
proper(
tail(
X)) →
tail(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
incr(
ok(
X)) →
ok(
incr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
head(
ok(
X)) →
ok(
head(
X))
tail(
ok(
X)) →
ok(
tail(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
nats :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
mark :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
cons :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
0' :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
incr :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
pairs :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
odds :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
s :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
head :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
tail :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
proper :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
ok :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
top :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → top
hole_nats:0':mark:pairs:odds:ok1_0 :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
hole_top2_0 :: top
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0 :: Nat → nats:0':mark:pairs:odds:ok
Lemmas:
cons(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
incr(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n926_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n9260)
Generator Equations:
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(0) ⇔ nats
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
s, active, head, tail, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
s < active
head < active
tail < active
active < top
s < proper
head < proper
tail < proper
proper < top
(13) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
s(
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(
+(
1,
n1439_0))) →
*4_0, rt ∈ Ω(n1439
0)
Induction Base:
s(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, 0)))
Induction Step:
s(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, +(n1439_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(s(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n1439_0)))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(14) Complex Obligation (BEST)
(15) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
nats) →
mark(
cons(
0',
incr(
nats)))
active(
pairs) →
mark(
cons(
0',
incr(
odds)))
active(
odds) →
mark(
incr(
pairs))
active(
incr(
cons(
X,
XS))) →
mark(
cons(
s(
X),
incr(
XS)))
active(
head(
cons(
X,
XS))) →
mark(
X)
active(
tail(
cons(
X,
XS))) →
mark(
XS)
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
incr(
X)) →
incr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
head(
X)) →
head(
active(
X))
active(
tail(
X)) →
tail(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
incr(
mark(
X)) →
mark(
incr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
head(
mark(
X)) →
mark(
head(
X))
tail(
mark(
X)) →
mark(
tail(
X))
proper(
nats) →
ok(
nats)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
incr(
X)) →
incr(
proper(
X))
proper(
pairs) →
ok(
pairs)
proper(
odds) →
ok(
odds)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
head(
X)) →
head(
proper(
X))
proper(
tail(
X)) →
tail(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
incr(
ok(
X)) →
ok(
incr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
head(
ok(
X)) →
ok(
head(
X))
tail(
ok(
X)) →
ok(
tail(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
nats :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
mark :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
cons :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
0' :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
incr :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
pairs :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
odds :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
s :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
head :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
tail :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
proper :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
ok :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
top :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → top
hole_nats:0':mark:pairs:odds:ok1_0 :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
hole_top2_0 :: top
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0 :: Nat → nats:0':mark:pairs:odds:ok
Lemmas:
cons(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
incr(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n926_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n9260)
s(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n1439_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n14390)
Generator Equations:
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(0) ⇔ nats
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
head, active, tail, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
head < active
tail < active
active < top
head < proper
tail < proper
proper < top
(16) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
head(
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(
+(
1,
n2053_0))) →
*4_0, rt ∈ Ω(n2053
0)
Induction Base:
head(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, 0)))
Induction Step:
head(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, +(n2053_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(head(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n2053_0)))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(17) Complex Obligation (BEST)
(18) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
nats) →
mark(
cons(
0',
incr(
nats)))
active(
pairs) →
mark(
cons(
0',
incr(
odds)))
active(
odds) →
mark(
incr(
pairs))
active(
incr(
cons(
X,
XS))) →
mark(
cons(
s(
X),
incr(
XS)))
active(
head(
cons(
X,
XS))) →
mark(
X)
active(
tail(
cons(
X,
XS))) →
mark(
XS)
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
incr(
X)) →
incr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
head(
X)) →
head(
active(
X))
active(
tail(
X)) →
tail(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
incr(
mark(
X)) →
mark(
incr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
head(
mark(
X)) →
mark(
head(
X))
tail(
mark(
X)) →
mark(
tail(
X))
proper(
nats) →
ok(
nats)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
incr(
X)) →
incr(
proper(
X))
proper(
pairs) →
ok(
pairs)
proper(
odds) →
ok(
odds)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
head(
X)) →
head(
proper(
X))
proper(
tail(
X)) →
tail(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
incr(
ok(
X)) →
ok(
incr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
head(
ok(
X)) →
ok(
head(
X))
tail(
ok(
X)) →
ok(
tail(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
nats :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
mark :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
cons :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
0' :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
incr :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
pairs :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
odds :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
s :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
head :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
tail :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
proper :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
ok :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
top :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → top
hole_nats:0':mark:pairs:odds:ok1_0 :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
hole_top2_0 :: top
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0 :: Nat → nats:0':mark:pairs:odds:ok
Lemmas:
cons(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
incr(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n926_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n9260)
s(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n1439_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n14390)
head(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n2053_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n20530)
Generator Equations:
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(0) ⇔ nats
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
tail, active, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
tail < active
active < top
tail < proper
proper < top
(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
tail(
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(
+(
1,
n2768_0))) →
*4_0, rt ∈ Ω(n2768
0)
Induction Base:
tail(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, 0)))
Induction Step:
tail(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, +(n2768_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(tail(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n2768_0)))) →IH
mark(*4_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(20) Complex Obligation (BEST)
(21) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
nats) →
mark(
cons(
0',
incr(
nats)))
active(
pairs) →
mark(
cons(
0',
incr(
odds)))
active(
odds) →
mark(
incr(
pairs))
active(
incr(
cons(
X,
XS))) →
mark(
cons(
s(
X),
incr(
XS)))
active(
head(
cons(
X,
XS))) →
mark(
X)
active(
tail(
cons(
X,
XS))) →
mark(
XS)
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
incr(
X)) →
incr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
head(
X)) →
head(
active(
X))
active(
tail(
X)) →
tail(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
incr(
mark(
X)) →
mark(
incr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
head(
mark(
X)) →
mark(
head(
X))
tail(
mark(
X)) →
mark(
tail(
X))
proper(
nats) →
ok(
nats)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
incr(
X)) →
incr(
proper(
X))
proper(
pairs) →
ok(
pairs)
proper(
odds) →
ok(
odds)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
head(
X)) →
head(
proper(
X))
proper(
tail(
X)) →
tail(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
incr(
ok(
X)) →
ok(
incr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
head(
ok(
X)) →
ok(
head(
X))
tail(
ok(
X)) →
ok(
tail(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
nats :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
mark :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
cons :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
0' :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
incr :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
pairs :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
odds :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
s :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
head :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
tail :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
proper :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
ok :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
top :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → top
hole_nats:0':mark:pairs:odds:ok1_0 :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
hole_top2_0 :: top
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0 :: Nat → nats:0':mark:pairs:odds:ok
Lemmas:
cons(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
incr(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n926_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n9260)
s(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n1439_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n14390)
head(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n2053_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n20530)
tail(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n2768_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n27680)
Generator Equations:
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(0) ⇔ nats
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
active, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
active < top
proper < top
(22) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol active.
(23) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
nats) →
mark(
cons(
0',
incr(
nats)))
active(
pairs) →
mark(
cons(
0',
incr(
odds)))
active(
odds) →
mark(
incr(
pairs))
active(
incr(
cons(
X,
XS))) →
mark(
cons(
s(
X),
incr(
XS)))
active(
head(
cons(
X,
XS))) →
mark(
X)
active(
tail(
cons(
X,
XS))) →
mark(
XS)
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
incr(
X)) →
incr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
head(
X)) →
head(
active(
X))
active(
tail(
X)) →
tail(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
incr(
mark(
X)) →
mark(
incr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
head(
mark(
X)) →
mark(
head(
X))
tail(
mark(
X)) →
mark(
tail(
X))
proper(
nats) →
ok(
nats)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
incr(
X)) →
incr(
proper(
X))
proper(
pairs) →
ok(
pairs)
proper(
odds) →
ok(
odds)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
head(
X)) →
head(
proper(
X))
proper(
tail(
X)) →
tail(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
incr(
ok(
X)) →
ok(
incr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
head(
ok(
X)) →
ok(
head(
X))
tail(
ok(
X)) →
ok(
tail(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
nats :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
mark :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
cons :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
0' :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
incr :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
pairs :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
odds :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
s :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
head :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
tail :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
proper :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
ok :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
top :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → top
hole_nats:0':mark:pairs:odds:ok1_0 :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
hole_top2_0 :: top
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0 :: Nat → nats:0':mark:pairs:odds:ok
Lemmas:
cons(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
incr(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n926_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n9260)
s(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n1439_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n14390)
head(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n2053_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n20530)
tail(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n2768_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n27680)
Generator Equations:
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(0) ⇔ nats
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
proper < top
(24) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol proper.
(25) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
nats) →
mark(
cons(
0',
incr(
nats)))
active(
pairs) →
mark(
cons(
0',
incr(
odds)))
active(
odds) →
mark(
incr(
pairs))
active(
incr(
cons(
X,
XS))) →
mark(
cons(
s(
X),
incr(
XS)))
active(
head(
cons(
X,
XS))) →
mark(
X)
active(
tail(
cons(
X,
XS))) →
mark(
XS)
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
incr(
X)) →
incr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
head(
X)) →
head(
active(
X))
active(
tail(
X)) →
tail(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
incr(
mark(
X)) →
mark(
incr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
head(
mark(
X)) →
mark(
head(
X))
tail(
mark(
X)) →
mark(
tail(
X))
proper(
nats) →
ok(
nats)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
incr(
X)) →
incr(
proper(
X))
proper(
pairs) →
ok(
pairs)
proper(
odds) →
ok(
odds)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
head(
X)) →
head(
proper(
X))
proper(
tail(
X)) →
tail(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
incr(
ok(
X)) →
ok(
incr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
head(
ok(
X)) →
ok(
head(
X))
tail(
ok(
X)) →
ok(
tail(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
nats :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
mark :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
cons :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
0' :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
incr :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
pairs :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
odds :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
s :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
head :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
tail :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
proper :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
ok :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
top :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → top
hole_nats:0':mark:pairs:odds:ok1_0 :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
hole_top2_0 :: top
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0 :: Nat → nats:0':mark:pairs:odds:ok
Lemmas:
cons(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
incr(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n926_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n9260)
s(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n1439_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n14390)
head(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n2053_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n20530)
tail(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n2768_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n27680)
Generator Equations:
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(0) ⇔ nats
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
top
(26) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol top.
(27) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
nats) →
mark(
cons(
0',
incr(
nats)))
active(
pairs) →
mark(
cons(
0',
incr(
odds)))
active(
odds) →
mark(
incr(
pairs))
active(
incr(
cons(
X,
XS))) →
mark(
cons(
s(
X),
incr(
XS)))
active(
head(
cons(
X,
XS))) →
mark(
X)
active(
tail(
cons(
X,
XS))) →
mark(
XS)
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
incr(
X)) →
incr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
head(
X)) →
head(
active(
X))
active(
tail(
X)) →
tail(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
incr(
mark(
X)) →
mark(
incr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
head(
mark(
X)) →
mark(
head(
X))
tail(
mark(
X)) →
mark(
tail(
X))
proper(
nats) →
ok(
nats)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
incr(
X)) →
incr(
proper(
X))
proper(
pairs) →
ok(
pairs)
proper(
odds) →
ok(
odds)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
head(
X)) →
head(
proper(
X))
proper(
tail(
X)) →
tail(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
incr(
ok(
X)) →
ok(
incr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
head(
ok(
X)) →
ok(
head(
X))
tail(
ok(
X)) →
ok(
tail(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
nats :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
mark :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
cons :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
0' :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
incr :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
pairs :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
odds :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
s :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
head :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
tail :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
proper :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
ok :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
top :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → top
hole_nats:0':mark:pairs:odds:ok1_0 :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
hole_top2_0 :: top
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0 :: Nat → nats:0':mark:pairs:odds:ok
Lemmas:
cons(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
incr(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n926_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n9260)
s(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n1439_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n14390)
head(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n2053_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n20530)
tail(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n2768_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n27680)
Generator Equations:
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(0) ⇔ nats
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(28) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(29) BOUNDS(n^1, INF)
(30) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
nats) →
mark(
cons(
0',
incr(
nats)))
active(
pairs) →
mark(
cons(
0',
incr(
odds)))
active(
odds) →
mark(
incr(
pairs))
active(
incr(
cons(
X,
XS))) →
mark(
cons(
s(
X),
incr(
XS)))
active(
head(
cons(
X,
XS))) →
mark(
X)
active(
tail(
cons(
X,
XS))) →
mark(
XS)
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
incr(
X)) →
incr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
head(
X)) →
head(
active(
X))
active(
tail(
X)) →
tail(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
incr(
mark(
X)) →
mark(
incr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
head(
mark(
X)) →
mark(
head(
X))
tail(
mark(
X)) →
mark(
tail(
X))
proper(
nats) →
ok(
nats)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
incr(
X)) →
incr(
proper(
X))
proper(
pairs) →
ok(
pairs)
proper(
odds) →
ok(
odds)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
head(
X)) →
head(
proper(
X))
proper(
tail(
X)) →
tail(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
incr(
ok(
X)) →
ok(
incr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
head(
ok(
X)) →
ok(
head(
X))
tail(
ok(
X)) →
ok(
tail(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
nats :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
mark :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
cons :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
0' :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
incr :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
pairs :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
odds :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
s :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
head :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
tail :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
proper :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
ok :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
top :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → top
hole_nats:0':mark:pairs:odds:ok1_0 :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
hole_top2_0 :: top
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0 :: Nat → nats:0':mark:pairs:odds:ok
Lemmas:
cons(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
incr(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n926_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n9260)
s(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n1439_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n14390)
head(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n2053_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n20530)
tail(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n2768_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n27680)
Generator Equations:
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(0) ⇔ nats
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(31) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(32) BOUNDS(n^1, INF)
(33) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
nats) →
mark(
cons(
0',
incr(
nats)))
active(
pairs) →
mark(
cons(
0',
incr(
odds)))
active(
odds) →
mark(
incr(
pairs))
active(
incr(
cons(
X,
XS))) →
mark(
cons(
s(
X),
incr(
XS)))
active(
head(
cons(
X,
XS))) →
mark(
X)
active(
tail(
cons(
X,
XS))) →
mark(
XS)
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
incr(
X)) →
incr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
head(
X)) →
head(
active(
X))
active(
tail(
X)) →
tail(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
incr(
mark(
X)) →
mark(
incr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
head(
mark(
X)) →
mark(
head(
X))
tail(
mark(
X)) →
mark(
tail(
X))
proper(
nats) →
ok(
nats)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
incr(
X)) →
incr(
proper(
X))
proper(
pairs) →
ok(
pairs)
proper(
odds) →
ok(
odds)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
head(
X)) →
head(
proper(
X))
proper(
tail(
X)) →
tail(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
incr(
ok(
X)) →
ok(
incr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
head(
ok(
X)) →
ok(
head(
X))
tail(
ok(
X)) →
ok(
tail(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
nats :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
mark :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
cons :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
0' :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
incr :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
pairs :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
odds :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
s :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
head :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
tail :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
proper :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
ok :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
top :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → top
hole_nats:0':mark:pairs:odds:ok1_0 :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
hole_top2_0 :: top
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0 :: Nat → nats:0':mark:pairs:odds:ok
Lemmas:
cons(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
incr(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n926_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n9260)
s(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n1439_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n14390)
head(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n2053_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n20530)
Generator Equations:
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(0) ⇔ nats
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(34) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(35) BOUNDS(n^1, INF)
(36) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
nats) →
mark(
cons(
0',
incr(
nats)))
active(
pairs) →
mark(
cons(
0',
incr(
odds)))
active(
odds) →
mark(
incr(
pairs))
active(
incr(
cons(
X,
XS))) →
mark(
cons(
s(
X),
incr(
XS)))
active(
head(
cons(
X,
XS))) →
mark(
X)
active(
tail(
cons(
X,
XS))) →
mark(
XS)
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
incr(
X)) →
incr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
head(
X)) →
head(
active(
X))
active(
tail(
X)) →
tail(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
incr(
mark(
X)) →
mark(
incr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
head(
mark(
X)) →
mark(
head(
X))
tail(
mark(
X)) →
mark(
tail(
X))
proper(
nats) →
ok(
nats)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
incr(
X)) →
incr(
proper(
X))
proper(
pairs) →
ok(
pairs)
proper(
odds) →
ok(
odds)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
head(
X)) →
head(
proper(
X))
proper(
tail(
X)) →
tail(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
incr(
ok(
X)) →
ok(
incr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
head(
ok(
X)) →
ok(
head(
X))
tail(
ok(
X)) →
ok(
tail(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
nats :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
mark :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
cons :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
0' :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
incr :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
pairs :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
odds :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
s :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
head :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
tail :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
proper :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
ok :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
top :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → top
hole_nats:0':mark:pairs:odds:ok1_0 :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
hole_top2_0 :: top
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0 :: Nat → nats:0':mark:pairs:odds:ok
Lemmas:
cons(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
incr(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n926_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n9260)
s(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n1439_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n14390)
Generator Equations:
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(0) ⇔ nats
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(37) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(38) BOUNDS(n^1, INF)
(39) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
nats) →
mark(
cons(
0',
incr(
nats)))
active(
pairs) →
mark(
cons(
0',
incr(
odds)))
active(
odds) →
mark(
incr(
pairs))
active(
incr(
cons(
X,
XS))) →
mark(
cons(
s(
X),
incr(
XS)))
active(
head(
cons(
X,
XS))) →
mark(
X)
active(
tail(
cons(
X,
XS))) →
mark(
XS)
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
incr(
X)) →
incr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
head(
X)) →
head(
active(
X))
active(
tail(
X)) →
tail(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
incr(
mark(
X)) →
mark(
incr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
head(
mark(
X)) →
mark(
head(
X))
tail(
mark(
X)) →
mark(
tail(
X))
proper(
nats) →
ok(
nats)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
incr(
X)) →
incr(
proper(
X))
proper(
pairs) →
ok(
pairs)
proper(
odds) →
ok(
odds)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
head(
X)) →
head(
proper(
X))
proper(
tail(
X)) →
tail(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
incr(
ok(
X)) →
ok(
incr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
head(
ok(
X)) →
ok(
head(
X))
tail(
ok(
X)) →
ok(
tail(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
nats :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
mark :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
cons :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
0' :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
incr :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
pairs :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
odds :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
s :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
head :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
tail :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
proper :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
ok :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
top :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → top
hole_nats:0':mark:pairs:odds:ok1_0 :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
hole_top2_0 :: top
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0 :: Nat → nats:0':mark:pairs:odds:ok
Lemmas:
cons(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
incr(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n926_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n9260)
Generator Equations:
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(0) ⇔ nats
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(40) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(41) BOUNDS(n^1, INF)
(42) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
nats) →
mark(
cons(
0',
incr(
nats)))
active(
pairs) →
mark(
cons(
0',
incr(
odds)))
active(
odds) →
mark(
incr(
pairs))
active(
incr(
cons(
X,
XS))) →
mark(
cons(
s(
X),
incr(
XS)))
active(
head(
cons(
X,
XS))) →
mark(
X)
active(
tail(
cons(
X,
XS))) →
mark(
XS)
active(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
active(
X1),
X2)
active(
incr(
X)) →
incr(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
head(
X)) →
head(
active(
X))
active(
tail(
X)) →
tail(
active(
X))
cons(
mark(
X1),
X2) →
mark(
cons(
X1,
X2))
incr(
mark(
X)) →
mark(
incr(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
head(
mark(
X)) →
mark(
head(
X))
tail(
mark(
X)) →
mark(
tail(
X))
proper(
nats) →
ok(
nats)
proper(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
incr(
X)) →
incr(
proper(
X))
proper(
pairs) →
ok(
pairs)
proper(
odds) →
ok(
odds)
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
head(
X)) →
head(
proper(
X))
proper(
tail(
X)) →
tail(
proper(
X))
cons(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
cons(
X1,
X2))
incr(
ok(
X)) →
ok(
incr(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
head(
ok(
X)) →
ok(
head(
X))
tail(
ok(
X)) →
ok(
tail(
X))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
nats :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
mark :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
cons :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
0' :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
incr :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
pairs :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
odds :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
s :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
head :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
tail :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
proper :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
ok :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → nats:0':mark:pairs:odds:ok
top :: nats:0':mark:pairs:odds:ok → top
hole_nats:0':mark:pairs:odds:ok1_0 :: nats:0':mark:pairs:odds:ok
hole_top2_0 :: top
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0 :: Nat → nats:0':mark:pairs:odds:ok
Lemmas:
cons(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
Generator Equations:
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(0) ⇔ nats
gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(43) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
cons(gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_nats:0':mark:pairs:odds:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
(44) BOUNDS(n^1, INF)